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本案例研基于Valuing Employee Stock Options: Under 2004 FAS 123R(見Wiley Finance，2004)。此處我們運用了FASB軟件，這種軟件被用于在FAS 123R的A87部分中創建評估的示例。
行政概要
2004年12月，FASB公布了最終校訂后的《國家財務會計準則123》(FAS 123R,也被簡稱為FAS 123)，它針對基于股權的支付，修訂了1995年10月發布的FAS 123和95，這被華爾街認為是財務會計理事會(FASB)在其30年的歷史中做出的影響最為深遠的行動。該法案規定，從2005年6月15日起，所有新的和部分現存的員工股票期權將被以成本計入會計賬簿。正如此項標準所預期的那樣，許多公司(諸如GE和可口可樂)已經自愿地在設置ESOs時，將其計入成本;而數以百計的其他公司卻仍然對它們的ESOs進行估值。
本案例研究的目的是讓讀者更好地了解FAS 123選擇的方法(二叉樹模型)的估值運用。我們將對該方法進行系統化的、目標化的評估，并且將其與Black-Scholes模型(BSM)的結果進行比較。本案例研究表明，FAS 123可以進行精確的估值。此處的分析運用了傳統的二叉樹模型，并且考慮了現實條件下可能發生的情況(例如：保留退休金的權利、員工選擇次優方案的行為、作廢的費率、整個聲明過程中ESO的波動性)。本案例引入了FAS 123的概念，并且給出了不同的ESO估值方法(閉合形式的BSM、二叉樹、Monte Carlo模擬)以及它們的影響。我們發現，通過使用滿足FAS 123要求的正確的方法，各公司可以消減每年數百萬美元的成本。因為這避免了不必要的對幼稚的BSM的估值，并且使用了經過校正后的自定義的二叉樹模型(它考慮了會計次優行為、作廢的費率、保留退休金的權利、中斷的日期、隨著時間而改變的輸入值)。
介紹
在滿足FAS 123要求的條件下，被選為計算公平市場ESO估值的方法是二叉樹模型，但是批評家認為各公司并不具有內部資源和數據從而運行復雜的估值(這種估值既要與新的要求相符合又要能夠通過審查)?；谧髡哂?003年提交給FASB董事會的研究報告，我們可以得出如下結論：BSM在理論上是正確的也是優美的，但是當把它運用于對公平市場的ESOs估值進行定量分析時，它就既不適用也不正確。這是因為BSM只有在歐式期權沒有紅利時才適用(歐式期權的持有者只有在期權到期時才會執行期權并且潛在的股票并不能支付任何紅利)。然而，事實上大多數ESO是帶有紅利的美式期權(期權持有者可以在包括到期日的任意時點執行期權并且潛在的股票支付紅利)。此外，在現實的條件下，ESOs可以讓員工在執行期權前擁有等待期權的權利，這在公司中隨時可能發生。這是因為員工可能提前離開公司或在達到既定周期前預先結束。此外，某些期權具有tranching或graduated scale，這樣使得股票期權中一定的百分比將每年都有可能被執行。同樣地，一些員工會表現出不理性的行為，他們只在期權價值超出合約價格數倍時才執行期權，即他們選擇的是次優的行為。另一方面，期權價值可能會對期望的經濟環境很敏感，由于利率具有期限結構，無風險利率在期權的生命周期中可能發生變動。最后，一些公司可能會經歷重組(資產剝離、合并、收購都會影響標的股票的波動性)?？紤]到這些因素，當把BSM運用于公平市場時，它就顯得不適用也不恰當了?？偟膩碚f，公司可以實施一系列行動，從而影響期權的價值。閉合形式的模型(如BSM)或一般的Black-Scholes模型(GBM)(后者要求紅利收益)是不穩定的，并且不能夠被修正以適應于真實環境。因此，我們選擇二叉樹模型。
在某些特定條件下(沒有紅利的歐式期權)，運用二叉樹模型和Monte Carlo模擬得到的結果與運用BSM所得到的結果相同，這表明前兩種方法是優良的并且其極限是精確的。然而，當具體條件發生改變時(作廢的概率、員工離職或中止工作時間的概率、選擇次優行為)，只有二叉樹模型具有高度的穩定性并且可以給出ESO的公平市場價值。BSM只考慮以下的輸入信息：股票價格、合約價格、到期日、無風險利率以及波動性。GBM考慮了以上所有的輸入值以及紅利的分配率。因此，根據FAS 123的要求，BSM和GBM不適用于現實狀況。相比起來，二叉樹模型可以被改造，從而包括股票價格、合約價格、到期日、單一無風險利率(或隨時間而改變的多重無風險利率)、單一波動性(或隨時間而改變的多重波動性)、單一紅利分配率(或隨時間而改變的多重紅利分配率)、所有的現實因素(主要包括：轉換周期、提前執行期權的次優行為、中斷周期、作廢率、股票價格以及業績障礙、其他出現異常的可能性)。我們注意到，如果忽略這些現實條件，運用二叉樹模型得到的結果與運用GBM得到的結果相同。
對于二叉樹模型，最重要的也最具有說服力的論據如下：①FASB需要它并認為二叉樹模型是進行ESO估值的好方法。②二叉樹模型可以通過恰當地反映現實條件，從而大量減少ESO的成本。以下是FAS 123的例子，其旨在探討對二叉樹模型的運用。
B64. 正如A10-A17中所討論的，閉合形式的模型是一種可以用于預測員工股票期權的公平市場價值的方法。然而，二(多)叉樹模型可以適應于無風險利率的期限結構、期望的波動率、期權到期之前期望的紅利變動。二(多)叉樹模型同樣可以適應于估計員工的執行期權的模式、到期日之內的期權等，因而也就可以更好地反映這些因素。
A15. Black-Scholes-Merton公式假設只能在期權到期日執行期權，期望的波動性、期望的紅利、無風險利率在整個期權的生命周期中保持恒定。如果將其運用于估計公允價值，那么需要對Black-Scholes-Merton公式進行修改，使其考慮到現實中的員工股票期權與模型的假設相矛盾之處(例如：在到期日之前執行期權的能力)。由于這個公式的性質，那些調整采取對不同假設進行加權平均的形式。相比起來，二(多)叉樹模型可以對期權有效期內的紅利、期權執行模式的預測、中斷周期的影響進行動態調整。因此，對二(多)叉樹模型可以有效模擬各種員工股票期權的不同特征。然而，二(多)叉樹模型、Black-Scholes-Merton公式以及其他滿足A8段的估值技術可以給出對公允價值的估計。不過，如果一個實體使用了經過校正后的模型(將以下因素納入考慮：期權的合同期限、員工期望的執行方式、等待后的雇用中止行為)，則對期望期限的估計是基于二(多)叉樹模型的輸出結果。例如：一個實體的經歷可能表明期權的持有者傾向于在股票價格翻了一倍后執行期權。如果是這樣，該實體可能使用二(多)叉樹模型，這個模型假設當執行期權的期望條件得到滿足時，在股票價格路徑的每個節點執行期權(如果在該節點期權可以等待并且可以被執行)。此外，當執行期權的期望條件沒有得到滿足并且期權在合約期滿后仍處于實值狀態時，該模型也假設在期滿后執行期權。這種方法認為，員工的執行行為與潛在價格相關。此模型同樣也考慮了期權等待后的雇用中止行為?；谧鳛榻Y果的二(多)叉樹模型(見A240段)，我們可以對期望的期限做出估計。
事實上，FAS 123的一些部分是不能夠被考慮在傳統的Black-Scholes模型中的。二(多)叉樹模型需要對如下因素進行建模：次優執行行為、作廢率、期權等待、中斷周期等。此案例研究和軟件計算的結果使用了二(三)叉樹模型、閉合形式的Black-Scholes模型從而比較結果。描述二(多)叉樹模型的使用方法的FAS 123段落包括如下條目：
A27. 然而，如果一個實體使用了經過校正后的模型(將以下因素納入考慮：期權的合同期限、員工期望的執行方式、等待后的雇用中止行為)，則對期望期限的估計是基于二(多)叉樹模型的輸出結果。例如：一個實體的經歷可能表明期權的持有者傾向于在股票價格翻了一倍后執行期權。如果是這樣，該實體可能使用二(多)叉樹模型，這個模型假設當執行期權的期望條件得到滿足時，在股票價格路徑的每個節點執行期權(如果在該節點期權可以等待并且可以被執行)。
A28. 其他的影響員工執行期權的行為以及等待后雇用中止行為的因素包括：
對等待期的獎勵。期權的期望期限至少應該包括等待期。
員工的歷史執行情況以及等待后雇用中止行為。
標的股票價格的期望波動性。
中斷期限以及其他的安排(例如：當滿足某種條件時，期權自動執行)。
員工的年齡、任職期限長度、國內司法狀況。
因此，基于前述的司法體系以及針對校訂后FAS 123的要求和推薦條件(其選擇二叉樹模型)，我們可以認為在計算ESOs的公允價值時，二叉樹模型是最好的也是最值得推薦的方法。
首選方法的運用
在運用經過修改后的二叉樹模型時，需要對以下的輸入值進行判斷：
批準日的股票價格。
批準期權的合約價格。
期權的到期時間。
期權生命周期的無風險利率。
期權生命周期中標的股票的紅利收益。
期權生命周期中的波動性。
期權的等待期。
期權生命周期中的次優執行行為。
作廢率以及期權生命周期中的員工遷移率。
當期權不能被執行時的等待后的中斷日期。
這種分析假設員工在期權等待的期限中不能執行期權。更進一步，如果員工工作年限被終結，并且決定等待期中自愿離開，則期權的批準將失效并且被認為是無價值的。相比起來，在期權等待期后，員工往往會在執行期權方面表現出不理性的行為，即一種次優的行為。然而，如果員工自愿離開或中止被雇用，則等待后的期權必須在一段短暫的時間之內執行(不論次優的行為如何，即期權失效的發生，這是由期權的失效率以及員工的遷移率來測度)。最后，當期權到期時，如果期權處于實值狀態，則將會被執行;如果處于虛值或兩平狀態，則期權會過期。下一個部分將具體闡述本案例分析的結果。
ESO估值軟件包
從理論上講，如果不借助于軟件，我們也可以對大規模的二叉樹模型ESO進行估值。本分析運用的軟件是本書作者編寫的員工股票期權估值工具包1.1(見圖1.1)，FASB也是用這款軟件證明ESO估值是有效的也是具有可操作性的。事實上，FASB運用這款軟件計算了最終的FAS 123的A87-A88段的示例，并進行了估值。圖1.2自定義的美式期權的示例模塊，它運用了帶有等待的二叉樹模型、失效率、次優執行行為、隨著時間變化的無風險利率和波動性。Real Options Super Lattice軟件也可以運用二叉樹模型、FASB偏好的方法用來創造任意自定義的ESO模型。
圖1.1 ESO Valuation Toolkit 1.1軟件
這款軟件顯示了如何運用閉合形式的模型(例如BSM/GBM)以及二叉樹模型。運用二叉樹模型，我們可以解決更為復雜的ESO問題。例如：自定義的高級期權(見圖1.2)顯示的是多個變量(無風險利率、紅利、波動性、失效率、次優執行行為等)隨著時間的變化。此外，對于增加的不穩定性，Super Lattice Solver模塊可以使我們解決自定義的ESO問題。這種特征使得管理層可以用不同風格的ESO進行試驗，從而找出其需要的那種，使股權持有者的成本最小化。
圖1.2 定制高級期權模型
圖1.2顯示的是2004年的最終的FAS 123準則的A87段的示例的解決方案。具體而言，A87-A88如下：
A87. 下表顯示的是關于2005年1月1日批準的股票期權的一些假設和相關信息。
股票期權共900000。
員工的期權共3000。
批準日的股票價格為$30。
執行價格為$30。
合約期限(CT)為10年。
合約期內的無風險利率是1.5%~4.3%。
合約期內期望的波動性為40%~60%。
合約期內期望的紅利收益為1.0%。
次優執行乘數為2。
A88. 本例假設每個員工都被批準擁有300份期權。從以上列表中選出7項作為輸出值，我們可以得出每份期權的公允價值為$14.69。此模型運用次優執行乘數來計算期望的項目(即期望的項目作為輸出值)，而不是把期望的項目作為孤立的輸入值。如果運用Black- Scholes-Merton期權定價公式，則期望的項目應該被用作輸入值而不是次優執行乘數。
圖1.2顯示的結果為$14.69，FASB在其示例中用到了這個結果。FASB的示例中，3%的失效率被運用于模型之外，從而對隨著時間而消減的數量進行貼現。這個軟件允許我們在模型內部或外部輸入失效率(等待之前或等待之后)。在這個例子中，我們將失效率設為0(圖1.2)并且將數量排除在外，這正如FASB在A91中所做的那樣：期望被等待的股票的數量在批準日被估計為821406(900000×0.973)。
事實上，運用ESO的估值軟件包和Excel的目標探索函數，我們可以發現這個期權的期望生命周期為6.99年。如果將6.99輸入校正后的GBM，那么我們可以得到同樣的結果$14.69(如果不運用二叉樹模型，這是無法完成的)。
所運用的方法的技術性證明
本部分闡述了導致GBM與自定義的二叉樹模型價格差別的技術性證明。圖1.3顯示了在自定義的二叉樹模型中如何得出每個輸入變量?；谶@個圖，顯然波動性并非期權價值的關鍵變量。事實上，等待、失效、次優行為等元素考慮進模型時，它們的效果控制了波動性。此圖顯示的是典型的案例，并不能作為一般化的案例。
相比起來，在簡單的BSM中，波動性是顯著的變量(如圖1.4所示)。這是因為由于輸入的變量較少，造成輸入的變量的相互影響較少。對于許多處于兩平狀態的ESOs，當沒有其他的主導輸入變量時，波動性起了非常重要的作用。
另外，這些新輸入變量的相互影響是非線性的。由圖1.5可知，等待、失效率、次優行為在期權價值中是非線性的。即圖中的線條不是直的而是在某些部位表現為彎曲的，這表明模型中有非線性的影響。這表明在期權價值中，我們不可以對這三個變量進行一般性的總結(例如，我們不能總結如下：失效率每增加1%，期權的價值會降低2.35%;這意味著失效率每增加2%，期權的價值將下降4.7%)。這是因為在不同的層次，變量的相互影響不同。我們可以總結如下：不可以對某個變量的變化所帶來的影響得到一般性的結論。對于每個案例，都要對更多的細節進行分析。
圖1.3 颶風圖列示了定制二叉樹模型中關鍵的輸入因素
圖1.4 颶風圖列示了BSM模型中關鍵的輸入因素、
圖1.5 蛛網圖顯示了二叉樹模型中輸入變量的非線性效果
盡管每個圖都顯示了變量的輸入值變化對期權價值帶來的影響，即這些影響是靜態的。然而，如圖1.5所示，這些效果常常是非線性的，這意味著我們需要同時改變變量的值，從而找出它們的相互影響。圖1.6顯示的是Monte Carlo模擬的動態敏感性，其中失效率、等待、次優行為都被視作重要變量，而波動性再一次被視作次要的變量。動態敏感性的圖是在經過數千次改變輸入變量的值后得到的，它可以捕捉到期權價值變化的效果。這種方法在捕捉不同變量輸入值的凈相互影響方面，是非常有價值的。
圖1.6 輸入變量同時變動的動態敏感性分析
從這些對敏感性的分析來看，我們可以總結得出：把失效率、等待、次優行為綜合起來對于獲取ESOs的公允價值是非常重要的，因為它們對期權價值會造成重大的影響。此外，我們不能把對期權價值有影響的輸入變量進行一般化的總結。為了獲取期權的價值，我們每次都要進行具體的分析。
帶待權期和次優執行行為的期權
通過進一步研究次優行為和等待，我們得到了圖1.7所示的結果。此處我們發現在較低的次優行為發生率下，股票期權價值顯著低于由BSM預測的值。對于10年的等待股票期權，兩個結果是相同的。這是因為對于10年等待并且10年到期的期權，它將轉變為歐式期權，只能在到期日執行。在本例中，BSM給出了正確的結果。
圖1.7 次優執行行為和待權期對期權價值的影響
(使用假設：股票價格和執行價格為25美元，成熟期為10年，無風險利率為5%，波動率為50%，紅利率為0%，次優執行行為乘數為1~20，待權期為1~10年，進行100~5000步的二叉網格嘗試)
然而，當次優行為發生率降低時，期權的價值將會降低。這是因為持有期權的員工傾向于以次優的方式執行期權，即他們會在股票價格達到最優之前執行期權。因此，期權的價值沒有被最大化。例如：假設期權的合約價格為$10，標的股票具有高波動性。如果一個員工以$11執行了期權(次優執行乘數為1.1)，他就沒能夠有效把握住標的股票的高波動性帶來的價格上漲空間。假設另一個員工在股票價格為$20時執行了期權(次優執行乘數為2.0)。因此，較低的次優執行行為意味著股票期權的較低公允價值。當預測的批準日的股票價格較高時，次優執行行為對股票具有較高的影響。圖1.8顯示，越接近批準日，曲線的斜率越高。
圖1.8 次優執行行為和股票價格對期權價值的影響
(使用假設：股票價格和執行價格范圍為5~100美元，成熟期為10年，無風險利率為5%，紅利率為0%，次優執行行為乘數為1~20，待權期為4年，進行100~5000步的二叉網格測試)
圖1.9顯示，股票波動性越高，則次優區域越大且對期權價值的影響越大，但是這種影響是漸近的。例如：對于具有100%波動性的股票，次優區域從次優執行乘數為1.0的部分一直擴展到次優執行乘數為9.0的部分(而對于波動性為10%的股票，次優區域從次優執行乘數為1.0的部分擴展到次優執行乘數為2.0的部分)。此外，100%波動性股票的價格波動從$12~$22，波幅為$10(而8%波動性的股票價格波動從$2~$10，波幅為$8)。因此，批準日的股票價格越高，則波動性越高，從而次優行為對期權價值具有更高的影響。在各種情況中，BSM的結果在圖中表現為水平線(圖1.8、圖1.9)。即BSM假設所有行為都是最優的，因此它總是最大化期權價值，這會顯著高估期權的價值。GBM和BSM都不能考慮到次優執行行為，只有二叉樹模型可以做到這點。
帶有失效率的期權
圖1.10顯示的是，隨著失效率的增加，期權價值減小。減小的比率取決于待權期。待權期越長，失效率對期權價值的影響越大，這表明在等待與失效之間存在非線性的交互影響關系(圖1.10中的線條是彎曲的并且是非線性的)。從直覺上我們可以感知到這一點，待權期越長，則雇員繼續接受雇用的可能性越高，失效的可能性越高。這會減少期權的期望價值。
圖1.9 次優執行行為和波動率對期權價值的影響
(使用假設：股票價格和執行價格為25美元，成熟期為10年，無風險利率為5%，波動率為10%-100%，紅利率為0%，次優執行行為乘數為1~20，待權期為1~10年，進行100~5000步的二叉網格測試)
圖1.10 罰沒率和待權期對期權價值的影響
(使用假設：股票價格和執行價格為25美元，成熟期為10年，無風險利率為5%，波動率為50%，紅利率為0%，次優執行行為為1.01，待權期為1~10年，罰沒率為0~50%，進行100~5000步的二叉網格測試)
再一次，我們可以注意到，對于具有10年待權期、10年有效期、0失效率的期權，BSM總是會高估價值(圖1.10)。此外，如果公司運作正常、股票價格往往會升高、這會使得期權更具有價值并且使員工不太可能離開公司、且公司也不太可能解雇員工——這樣的話，股票價格與失效率就具有負相關的特征。由于失效率具有不確定性(在過去，失效率通常會隨著經濟環境的變化而波動，并且它在未來也會波動)且與股票價格具有負相關性，故我們可以將具有相關性的Monte Carlo模擬運用于失效率，并可將其與二叉樹模型聯合使用(在本案例研究的后面部分將得到闡述)。BSM總是最大化期權價值。ESO估值軟件可以考慮到失效率，Super Lattice Solver可以考慮到在二(多)叉樹模型中不同的等待前與等待后的失效率。
無風險利率隨時間而改變的期權
輸入值的另一個假設是無風險利率。圖1.11顯示的是隨時間而改變的無風險利率對期權價值的影響。當增加了其他的輸入值后，無風險利率不恒定的二(多)叉樹模型會在整體上低估期權價值。此外，考慮到貨幣的時間價值，對未來現金流進行更高的貼現將會降低期權的價值。圖1.11比較了斜率增長的收益率曲線和斜率下降的收益率曲線，它們在圖像上分別表現為開口朝上的月牙和開口朝下的月牙。當利率的期限結構隨時間而增加時，運用非恒定的無風險利率二叉樹模型計算出的期權價值($24.31)低于運用無風險利率的平均值計算出的結果($25.92)。對于下降的期限結構，情況正好相反。此外，圖1.11顯示了開口朝下的無風險利率曲線(利率先低后高再低)和開口朝上的無風險利率曲線(利率先高后低再高)。這個結果表明，運用簡單平均的方法，將會高估斜率增加的收益曲線，低估斜率減少的收益曲線。因此，我們應該隨著時間的變化，從而對無風險利率做出修正。
圖1.11 變化的無風險利率對期權價值的影響
這些結果只可以用于說明一個典型的情況而不能作為一般化的例子在所有情況下進行使用。
波動性隨時間變化的期權
圖1.12顯示的是ESO中波動性隨時間而改變的效果。如果波動性隨時間而改變，則當存在其他的輸入變量時，運用平均波動性的BSM($71.48)將總是會高估期權的價值。此外，把它與基礎狀況中的$38.39相比，隨時間而緩慢地從較低水平增加的波動性將會導致較低的期權價值，而當波動性從較高的水平降低時(以及當波動性表現為開口朝上或朝下的月牙時)，計算出的結果高于用平均波動性計算出的結果。
紅利收益隨時間而改變的期權
紅利收益是一種較為簡單的輸入數據，我們可以從公司的紅利分配政策或歷史數據中獲得。我們計算紅利收益時，是把在一年中的紅利加總起來，從而計算出總的紅利與股票價格的比值。通常紅利收益都介于0%~7%。事實上，在美國大約有45%的上市公司支付紅利。在支付紅利的公司之中，有85%的紅利收益低于7%，95%的紅利收益低于10%。紅利收益是一個非常有趣的變量，它與其他的輸入變量具有較小的相關性。它對期權價值具有接近線性的效果，而其他的輸入變量卻不具有這樣的效果。例如：圖1.13顯示的是對同樣的期權的不同到期日的效果。到期期限越長，則期權價值越高、但期權價值增長率在減小。
圖1.12 變化的波動率對期權價值的影響
圖1.13 成熟期的非線性影響
(使用假設：股票價格和執行價格為100美元，成熟期為10年，無風險利率為5%，波動率為75%，定制網格步數為1000步，次優執行行為乘數為1.8，待權期為1年，罰沒率為10%)
相比起來，圖1.14顯示的是，即使當其他的輸入變量發生改變，紅利的效果仍然接近線性。不論變量發生什么變化，紅利對期權的影響都接近線性。圖1.14顯示的是許多具有特殊紅利率的期權，圖1.15顯示的是單一期權的紅利隨時間而改變的效果。圖1.14中的結果是對具有不同紅利率的不同期權進行比較而得出的，圖1.15中的結果是對紅利率隨時間而改變的單一期權的效果進行比較而得出的。
圖1.14 紅利率的近線性影響
圖1.15 變化的紅利率的影響
(使用假設：股票價格和執行價格為100美元，成熟期為5年，無風險利率為5%，波動率為75%，定制網格步數為1000步，次優執行行為乘數為1.8，待權期為1年)
顯然，如果期權的紅利不斷改變，則它對這個期權來說是具有價值的。因此，如果公司的股票支付紅利，則我們的分析中應該考慮紅利率改變的可能性。
帶有中斷期限的期權
另外一個比較有意思的就是中斷期限，在中斷期限中ESOs不能夠被執行。這個期限通常是公布收入(通常是季度財務報告)前幾周，也可能是后幾周。此外，只有負有受托人責任的高級經理才具有這樣的中斷期權，因此這部分期權與整個公司的相比只占很小的一部分。圖1.16顯示的是具有不同的中斷期的典型的ESO的計算結果。有些期權在一個月中只有幾天的中斷期時，這與普通的帶有中斷期的期權有所不同，也與那些沒有中斷期的期權不同。事實上，如果次優執行乘數較小(本例中假設這個值為1.8)，策略的中斷期限會防止期權持有者以次優的行為執行期權并且期權的價值也會略微地增加。
圖1.16 禁止期對期權價值的影響
(使用假設：股票價格和執行價格為100美元，成熟期為10年，無風險利率為5%，波動率為75%，定制網格步數為1000步，次優執行行為乘數為1.8，沒有紅利率，待權期為1年，罰沒率為10%)
圖1.16所示的分析假設一年中的中斷期限只占很小的百分比(即一年中只有幾天不能執行ESO)。對于這些公司的股票期權，中斷期限可以被忽略。然而，對于生物科技公司、高科技公司等，中斷期限扮演了非常重要角色。例如：在生物科技公司，每個季度的中斷期限可能有4~6周，這個期限將跨越公布季度公報的時間。此外，在新產品投產前也可能設置中斷期限。因此，每年的中斷期限可能占期權生命周期的35%~36%。在這種情況下，中斷期限會顯著影響期權的價值。例如：圖1.17顯示的是具有中斷期限以及不具有中斷期限的自定義二叉樹模型的差別。在引入中斷期限后，ESO的值被消減了10%~35%(具體數值取決于失效率的波動性)。正如所期望的那樣，減少的數值是非線性的，因為中斷期限的效果會隨著分析中其他不同的輸入變量的變化而變化。
圖1.18顯示的是不同等待期、不同的紅利收益下的中斷期限的效果，而圖1.19顯示的是在不同的紅利收益和次優執行乘數下的結果。顯然，我們只有在具體分析之后，才能準確預測影響，這種影響一般是10%~20%。中斷期限只能運用二叉樹模型建模而不能用BSM/GBM。
圖1.17 禁止期對期權價值的影響(不同的罰沒率和波動率)
(使用假設：股票價格和執行價格為30~100美元，波動率為45%，無風險利率為5%，成熟期為10年，紅利率為0%~10%，待權期為1~4年，罰沒率為5%~14%，次優執行行為參數為1.8~3.0，網格步數為1000步)
圖1.18 關鍵禁止期對期權價值的影響(不同的紅利率和封鎖期)
圖1.19 關鍵禁止期對期權價值的影響(不同的紅利率和執行行為)
不流通問題
2004年的FAS 123沒有明確地討論不流通性，即ESO既不能直接被過戶給其他人也不能自由地在市場中進行交易。在這種情況下，基于可靠的財務和經濟理論，我們可以把不可流通條件下的貼現近似用于ESO。然而，這并不是一項輕松的任務。
一種對貼現簡單的和直接的應用不應該是用任意選擇的百分比乘以二叉樹模型計算出的結果。我們可以運用看跌期權進行更嚴格的分析。一份看漲期權是一種合約權利，而不是一種義務，它使得期權持有者可以在指定的時間之內能夠以合約價格購買標的股票;而看跌期權也是一種合約權利，而非義務，它使得期權的持有者能夠在指定的時間內以合約價格出售股票。因此，如果ESO的持有者不能銷售或等待期權，那么持有它就相當于放棄了銷售期權的權利(也即員工已經背書或對公司出售了看跌期權)。
然而，在分析中碰到這種貼現特征時，我們要格外小心。在計算看漲期權時輸入自定義二叉樹模型的輸入值也同樣應該輸入看跌期權。即看跌期權也必須具有相同的風險(波動性會隨著時間而改變)、經濟環境(無風險利率的期限結構會隨著時間而改變)、合約的義務(等待、到期日、合約價格、中斷期限)、投資者的不理智(次優執行行為)、公司的業績(批準日的股票價格)等。
盡管FAS 123沒有明確地討論不可流通性，出于完整性的考慮，我們在此對價值進行分析。只有每個公司的管理層才能決定是否應該運用貼現。圖1.20顯示的是運用自定義二叉樹模型對ESO進行計算的結果。圖1.21顯示的是非流通性的分析結果，這是將相同的輸入值(等待、中斷、失效、次優行為等)輸入自定義二叉樹模型而計算出的結果。貼現率的范圍是22%~53%。這些貼現率看上去有些大，但它們其實是符合市場預期的。由于FASB沒有明確地批準這些貼現率，所以作者建議在決定ESO的公允市場價值時要謹慎。
圖1.20 定制二叉網格模型估值結果
(使用假設：股票價格和執行價格為100美元，成熟期為10年，待權期為1年，波動率為35%，紅利率為0%，無風險利率為5%，次優執行行為參數為1.2~3.0，罰沒率為0%~40%，定制網格步數為1000步)
圖1.21 不可銷售和不可轉換貼現率
壽命分析(生存分析)
正如前面所講到的那樣，2004年最終的FAS 123的A15和B64不允許使用帶有單一期望生命周期的BSM。這意味著我們不能把期望的生命周期輸入到BSM中，從而獲得類似自定義的二叉樹模型計算的結果。我們只能另尋它法。即運用等待要求、次優執行乘數、失效率、員工更替率以及其他標準期權的輸入值，通過自定義二叉樹模型計算出估值結果。這種結果與校正后的BSM具有可比性，并且期望的生命周期可以作為輸入值。通過將BSM的結果設置為與自定義的二叉樹模型相等，Excel的目標搜索函數可以被用來獲取期權的期望的生命周期的輸入值。期望的生命周期的輸出結果可以與歷史數據相比較，從而作為另一類輸出結果，即期望的生命周期是否在歷史數據的范圍之內。由于測度期權的期望的生命周期是非常困難的也是不準確的，故而這種方法是正確的。
如圖1.22所示，通過將BSM的結果與自定義二叉樹模型的結果設置為相等，我們可以對ESO Valuation Toolkit軟件運行Excel的目標搜索函數，從而BSM模型輸入期望的生命周期。
圖1.22 使用二叉樹結果來確定期權預期生命周期
圖1.23顯示的是另一個例子，在此處期望的生命周期可以被輸入，但失效率并不為0。在這種情況下，需要對BSM的結果進行修正。例如：自定義二叉樹模型的結果為$5.41(失效率為15%)。這意味著，如果運用修正的期望生命周期的方法，結果應該為BSM×(1-15%)=$5.41。期望的生命周期是2.22年，產生的BSM值是$6.36($5.41/85%=$6.36，$6.36×(1-15%)=$5.4)。
稀釋
在大多數情況下，稀釋的影響可以忽略不計，因為批準的ESO只占公司的期權總量的很小一部分。在財務投資理論中，市場早已預期到了ESOs的執行，并且股票價格也已經反映了它的影響。一旦新期權的批準被公布，股票價格會迅速對這條消息進行充分的調整，這時已經考慮到了稀釋發生的可能性。這意味著只要是在公布之后進行估值，那么稀釋的影響將不復存在。2004年的FAS 123沒有給出清楚的指導。由于FASB幾乎沒有對稀釋給出指導(A39)、考慮了稀釋時預測股票價格是非常困難的、稀釋的影響是非常微小的(其只占股票總量中的很小比例)，故而稀釋的影響可以被忽略不計。
圖1.23 零罰沒率的情況下使用二叉樹結果來確定預期生命周期
將蒙特卡羅模擬運用于統計置信度和精度控制
下一步，蒙特卡羅模擬可以被運用于獲取股票期權公允價值的估計范圍。即如果股票期權的輸入值是不確定的并且是隨機的，那么就可以對其運用蒙特卡羅模擬。我們可以將分布假設運用于這些變量，并且用BSM、GBM得到的期權價值的結果、對路徑的模擬、二叉樹模型可以被選作預測單元格。
模擬的結果在本質上是股票期權價值的分布。我們必須注意，此處的模擬僅僅是用來區別不同的輸入值，從而獲取輸出結果的范圍，而不是為了計算期權的價值。然而，模擬既可以被用來模擬輸入值從而獲取期權結果的范圍，也可以通過獨立路徑模擬解決期權的模型問題。例如：模擬的輸入值是那些具有高度不確定性并且在未來會發生改變的值(如批準日的股票價格、波動性、失效率、次優執行乘數等)。顯然，客觀的變量如無風險利率(美國會公布期限從1個月到20年的國債的收益率)、紅利收益(這取決于公司的戰略)、等待期、合約價格、中斷期限(這取決于期權合約中的規定)等是不應該被模擬的。此外，模擬的輸入假設有可能是相關的。例如：失效率與股票價格呈負相關——如果公司運作得不錯，則股票價格會提高，這使得期權更有價值，這樣就會使員工不傾向于離開公司且公司也不傾向于解雇員工。最后，輸出值的預測是期權估值的結果。事實上，FAS 123(B64、B65以及腳注48、52、74、97)允許并推薦蒙特卡羅模擬。
圖1.24是對所有變量運用自定義二叉樹模型(基于單點輸入值)計算出的結果。模型采用了外來輸入值(如：待權期、失效率、次優執行乘數、中斷期限)，并且隨著時間而改變輸入值(紅利、無風險利率、波動性)。期權價值的結果是$31.42。這個分析可以被擴展，從而使其包括模擬。圖1.25顯示的是伴隨有自定義二叉樹模型的模擬結果(Risk Simulator®軟件被用于模擬輸入變量)。
軟件會自動根據統計顯著性和精度控制的要求確定試驗重復的次數，而不是隨機地決定在模擬中試驗進行的次數。本例中置信度為99.9%，精度控制為.01，一共進行了145510次試驗。這組非常嚴格的參數設置意味著需要進行足夠多次的試驗才能使結果滿足置信度為99.9%、精度控制為0.01。例如：模擬的平均結果是$31.32(圖1.25)。這意味著在1000次試驗中，999次的結果離$31.32的誤差只有.01。這些措施是在統計上有效的也是公正的。
圖1.24 使用定制二叉樹模型的單點計算結果
圖1.25 99.9%置信區間和精度為0.01美元時期權的估值結果
步數
二(多)叉樹模型的步數越多，結果的精度越高。圖1.26顯示的是運用BSM的閉合形式的模型對沒有紅利的歐式看漲期權計算出的收斂的結果(與基本的二叉樹模型的結果相比)。一般在1000步后可以得到收斂的結果。同樣地，如果有可能的話，就應該使用1000步的計算結果。由于需要很多的步數才能得到理想的結果，所以我們要運用基于軟件的數學算法。例如：1000步的非重組二叉樹模型需要計算2×10301個節點，如果沒有專門的算法，人工計算是不可能的。圖1.27顯示的是用漸近增加的步數得到的收斂結果(每120步為一組)。計算出的數據被制成表格，并且本例也給出了結果的中位數。在這個自定義二叉樹模型中，最好的估計是4200步，輸入的數值通用于整個分析。
圖1.26 二叉樹模型的計算結果趨同于閉式方程的計算結果
圖1.27 定制二叉樹模型得到的收斂結果
結論
自Fisher Black、Myron Scholes、Robert Merton給出了他們的期權定價模型以及為金融界帶來巨大的進步已經30多年了;因此，不應該將股票期權定價局限于某個具體的模型，因為我們總能探索到其他更好的模型。對股票期權進行估值的三種主要方法是：閉合形式的模型(如：BSM、GBM、美式期權近似模型)、蒙特卡羅模擬、二叉樹模型。當存在次優行為、等待期、失效率時，BSM與GBM常常會高估ESOs的公允價值。事實上，如果用BSM和GBM對ESOs進行估值，那么這常常會高估真實成本。在運用BSM之前，需要滿足許多潛在假設，同樣地，它也有許多明顯的限制(這包括，它只能被運用于無紅利的歐式期權)。此外，美式期權近似模型非常復雜、并且很難運用于Excel的工作表。BSM不考慮美式期權、基于支付紅利的期權(然而GBM可以在歐式期權中考慮紅利)、失效率、不良業績、股票價格的限制、待權期、不斷變化的商業環境和波動性、次優行為以及一些其他情況。蒙特卡羅模擬可以單獨作為一種對股票期權價格進行估值的方法，但這僅限于歐式期權。模擬有以下兩種方式：通過對股票價格路徑的模擬，從而計算出期權的公允價值;與其他方法(如：二叉樹模型和閉合形式的模型)協同使用，從而找出模型中不確定性的來源。
二叉樹模型具有穩定性并且易于運用。它可以被運用于對帶有紅利的歐式期權進行估值，但這需要計算能力。我們需要運用軟件來執行這種運算。二叉樹模型可以被用于計算支付紅利的美式期權，可以很容易地被改造以解決帶有外來輸入值的ESOs問題，可以與蒙特卡羅模擬協同運用以考慮不確定的輸入假設(失效的概率、次優行為、轉手、不良業績)，可以用于計算高精度的置信區間?；诒景咐芯克龅姆治?，我們建議在使用模型時，請先確認ESO是歐式的。事實上，帶有外來輸入變量的美式期權是不允許被使用的，因為這會大大地高估補償成本。影響ESOs的公允價值的因素有很多，我們應該運用考慮這些因素的二叉樹模型。只要經過認真的學習，就可以像在本案例研究中所演示的那樣運用二叉樹模型對ESOs進行估值，本例所使用的方法是注重實效的、精確的并且是在理論上合理的。
