插入式電磁流量計的理論研究

1、電磁流量計測量理論

述電磁流量計的積分式由Bevir在1970年給出：

式中：U₂-U₁是兩電極之間的電勢差；A表示對所有的空間積分；稱為矢量權函數，是一個只有電磁流量計本身結構決定的量，其表達式為：

而且：

式中：G和F分別是和的標量勢，它們滿足Laplace方程：

由以上分析可知，電勢差的測量不受流體的溫度、壓力、密度、電導率(高于某閾值)變化的影響，具有很大的優越性。

2、插入式電磁流量計的理論計算

典型的插入式流量計結構如圖1所示，將電極插入管道內，磁極留在管道外，在電極周圍產生一個局部磁場。

圖1　插入式流量計結構示意圖

圖2　簡化的物理模型

建立物理模型如圖2所示：e1、e2為插入管道的兩個電極，電極位置由插入深度b以及電極開角θ₀決定，是由外部磁極產生的磁場?；诖四Ｐ?，計算G、F、W的分布。

2.1、虛電勢G的計算

由于管道內有插入的電極，所以不能直接使用式(4)的Laplace方程求解虛電勢。我們可將該模型的虛電勢分布認為是分別只有電極和邊界產生的虛電勢的疊加，即G=G₀+G_r。

2.1.1、只有電極的虛電勢分布

假設邊界無窮遠，根據虛電流的定義有：

普通電場中的高斯定律：

根據對稱原則，虛電勢應具有和電勢相似的形式，即：

根據圖2的幾何關系，不難求出G0的解析表達式：

2.1.2、只有邊界的虛電勢分布

由于測量管壁絕緣，因此有邊界條件=0，即：

式(9)即為G_r的邊界條件。由于此時虛電勢僅由邊界決定，所以有方程：

這是一個定解條件的Laplace方程，使用分離變量及傅立葉系數公式可進行求解。由于很難求得邊界條件的解析解，我們在徑向使用差分方法求得G_r的邊界條件來求得G_r的數值解。

3.2、磁勢F的計算

由于電極的插入深度一般僅為管道直徑的10%～12.5%，因此假設在電極附近的磁感強度是均勻的，即：

3.3、權函數W的計算

由梯度的定義可求得：

由于磁場是均勻的，不難得到：

3.4、輸出電勢差的計算

假設管道中的流動為充分發展的湍流，我們選用經典湍流模型，其流場分布為：

與求得的W得輸出電勢差U。

3、編程計算

綜合上述討論可以看出，問題的關鍵在于虛電勢函數G的計算，考慮到精度要求以及資源消耗，使用離散方法計算G。具體實現步驟如下：

1)、將感興趣的區域在二維直角坐標上劃分網格，使用式(8)求出每一微元上的G₀值；

2)、使用差分方法計算式(9)中邊界處網格的G₀法向方向偏導值，作為計算Gr的邊界條件；

3)、通過分離變量、利用傅立葉系數公式，以及離散的Simphson積分法計算式(10)得到Gr的半解析表達式，計算每一網格的Gr值，并合成G；

4)、按照式(13)計算G在x方向的差分，求得每一網格的W值；

5)、結合式(14)的流場模型，計算輸出電壓。

編寫程序計算不同流場，不同電極位置的輸出電壓，并繪制G、W的等勢分布圖。

4、結果與分析

4.1、虛電勢G分布(取電極間距為0.1R)

取b=0.9R(R為管道半徑)，θ=0.0555rad，繪制G分布并放大電極附近區域如圖3所示。

圖3　b=0.9R時的G分布及局部放大圖

圖3中的黑點為電極，可以明顯的看出G主要分布在電極周圍并且在邊界處分布發生顯著的變化。

4.2、權函數W分布(取電極間距為0.1R)

取b=0.9R，θ=0.0555rad，繪制W分布如圖4所示。

圖4　b=0.9R時的W分布及局部放大圖

從圖4中可以看出W主要分布在電極附近，并且成對稱分布。

4.3、輸出電勢差

通過計算可以發現，權函數W主要分布在電極附近。選擇b=0.752R，對進行全空間積分，求得輸出電勢差U=0.1475V(為規一起見，假定vmax=1m/s，R=1m，電極處B=1T)；對距離電極所在圓周0105R的環狀區域進行積分，求得輸出電勢差U=0.1231。因此，對最終輸出電勢差起作用的主要是電極附近的流場。說明我們假設的磁場模型是可用的。

選擇模擬計算中常用的湍流模型

進行計算，取v_max=1，在不同的插入深度對于不同的湍流系數n進行求解，得到結果如表1所示。

表1 不同電極位置和不同湍流系數下的輸出電勢差

繪制湍流系數-輸出電勢差曲線如圖5所示。

圖5　湍流系數-輸出電勢差擬合曲線

對各組數據做最小二乘擬合，計算斜率及線性度如表2所示。

表2 不同電極位置的電勢差擬合直線斜率及線性度

由圖5可以看出，取v_max=1，即同一流量下，不同的湍流系數n對應了不同的輸出電壓。但當b=0.752R，也就是常說的平均流速點位置，輸出的電勢差U值基本不變。因此，只要將電極插至該位置，即可用來測量流量。為了研究插入深度偏離平均流速點所產生的測量誤差，假設平均流速點位置的輸出電勢差為標準值，計算得到：插入深度與平均流速點偏差在011R范圍內，輸出電勢與該標準值的相對誤差約為1%～2%。

5、結論

本文完成了以下工作：

1)、建立了插入式電磁流量計的物理模型，并編寫程序計算出虛電勢、權函數的數值解，用于指導插入式電磁流量計的實際生產與運用；

2)、引入經典湍流模型，對不同湍流系數，不同電極位置的輸出電壓進行模擬計算，給出關系曲線，從理論上給出電極最優工作位置。

希望在進一步的工作中能加工制作出插入式流量計的實物，通過流量標定實驗來驗證理論分析結果。